Předtím než se dostaneme k samotnému znění Keplerových zákonů, seznámíme se s dvěma důležitými pojmy, které se nám budou hodit. Těmito pojmy jsou kružnice a elipsa.

Kružnice a elipsa jsou křivky - objekty, které mají pouze jeden rozměr. Pokud bychom si mohli na křivku stoupnout a směli se pohybovat pouze podél ní, dokázali bychom se pohybovat pouze „dopředu“ nebo „dozadu“, jak naznačuje obrázek. Jiným příkladem křivky by mohla být přímka.

Křivka může, ale nemusí ležet v rovině. Kružnice a elipsa jsou příklady křivek, které v rovině leží – dají se nakreslit na papír.

Jedním z mnoha příkladů křivek, které v rovině neleží, je šroubovice. Pokud bychom si ji chtěli nakreslit, museli bychom umět kreslit v prostoru. Vágně povězmě, že šroubovici bychom kreslili jako kružnici, která se ale neuzavře (tím, jak kreslíme do prostoru) a může mít mnoho otoček. Její ilustrace na obrázku níže má dvě a kousek otočky.

Kružnice je příkladem křivky, která leží v rovině, a jejíž body mají od určitého výjimečného bodu stejnou vzdálenost. Tento bod se nazývá střed kružnice a budeme ho značit S.

Vzdálenost středu S od bodů kružnice se nazývá poloměr kružnice a budeme ho značit r.

Pod pojmem kružnice tedy rozumíme:

Všechny body v rovině, které mají od bodu S stejnou vzdálenost r.

Elipsa je dalším příkladem křivky, která se nachází v rovině.

Každá elipsa má dva výjimečné body – nazývají se ohniska a budeme je značit E a F. Tyto dva body přímo na elipse nenáleží, ovšem všechny body elipsy mají stejný součet vzdáleností od obou ohnisek. Klíčové je spojení „stejný součet vzdáleností“, které si za chvíli více rozebeme.

Elipsu bychom mohli nyní definovat následovně:

Elipsou rozumíme všechny body v rovině, které mají od dvou výjimečných bodů, ohnisek E a F, stejný součet vzdáleností – součet délek žluté a červené úsečky podle obrázku.

Libovolný bod na elipse si můžeme označit jako P. Vzdálenost bodu P od ohniska E označíme jako |EP| a od ohniska F jako |FP|.

Pokud si na elipse zvolíme libovolný další bod, který v tomto případě označíme jako Q, tak bude platit

Bod, který se nachází přesně uprostřed ohnisek, se nazývá střed elipsy a budeme ho značit S.

Vzdálenost středu k nejvzdálenějšímu bodu elipsy se nazývá hlavní poloosa a budeme ji značit a.

Vzdálenost středu elipsy k jednomu z ohnisek (tedy |ES| nebo |FS|) se nazývá výstřednost (excentricita) a budeme ji značit e. Někdy se také nazývá délková výstřednost, protože má rozměr délky.

Představme si, že budeme držet pevně velikost hlavní poloosy a, ale budeme zvětšovat výstřednost e (tu lze však zvětšovat maximálně do velikosti a, protože ohniska musí vždy ležet uvnitř elipsy). Pak bude elipsa čím dál tím více protáhlejší, jak budeme za chvíli ilustrovat.

Z definice elipsy vyplývá, že každý bod na elipse má od obou ohnisek stejný součet vzdáleností. Teď si ukážeme, jak tento součet souvisí s jinými parametry elipsy.

Pro nejvzdálenější bod A od středu elipsy S platí následující vztah

Z toho plyne, že pro libovolný bod P na elipse platí

Na základě toho, co už víme, se můžeme zkonstruovat elipsu s konkrétní hodnotou hlavní poloosy a excentricity.

1. Nejdříve se rozhodneme, kam si ohniska E a F umístíme. Tím bude zároveň určeno e.
2. Dále se musíme rozhodnout, jak velkou hlavní poloosu a budeme chtít. Přitom musíme mít na paměti, že a má být větší než e.
Elipsu najdeme tak, že budeme postupně konstruovat její body. Začneme tak, že zkonstruujeme bod se vzdáleností r od ohniska F (tzn. bod se vzdáleností 2a-r od ohniska E).
3. r volíme libovolné, ale z intervalu $$a-e \le r \le a+e$$
4. Nakreslíme kružnici o zvoleném poloměru r a se středem v ohnisku F.
5. Nakreslíme kružnici o poloměr 2a-r a se středem v ohnisku E.
Kružnice se protnuly ve dvou bodech P1 a P2, které oba patří do elipsy.
6. Postup opakujeme od bodu 3. pro další hodnoty r.

Pokud bychom ohniska E a F k sobě přibližovali (aniž bychom měnili hlavní poloosu), až by splynuly se středem elipsy S, vznikla by kružnice. Jinými slovy, kružnice je speciální případ elipsy.

Když ohniska E a F splynou se středem elipsy S (E = F = S), je výstřednost elipsy nulová

a máme kružnici. V takovém případě se hlavní poloosa a rovná poloměru r vzniklé kružnice, tedy

To se dá snadno rozmyslet s využitím definice elipsy. Pro každý bod P na elipse platí $$|EP| + |FP| = 2a$$ Protože e=0, tak E = F, a proto $$|EP| = |FP|$$ Kombinací posledních dvou rovnic a E = F = S dostáváme $$|SP| = a$$ Rovnice nám říká, že bod P má od středu S vzdálenost a. Protože bod P mohl být zvolen jako jakýkoliv bod elipsy, platí tato rovnice pro všechny její body. Jak ale víme, toto je definice kružnice. Ukázali jsme tedy, že kružnice je speciální případ elipsy, kdy e = 0.

Kromě hlavní poloosy a se u elipsy zavádí ještě vedlejší poloosa, kterou budeme značit b.

Kromě délkové výstřednosti e se u elipsy ještě zavádí relativní výstřednost ε (epsilon). Relativní výstřednost odpovídá poměru mezi délkovou výstředností a hlavní poloosou

Relativní výstřednost ε určuje, jak moc je elipsa protáhlá a nabývá hodnot mezi 0 a 1. V krajním případě, kdy ε = 0, se jedná o kružnici. V opačném případě, kdy se ε blíží čím dál více k 1, stává se elipsa čím dál více protáhlá (v horizonálním směru, v opačném vertikálním směru se stává více zkrácená, viz obrázek níže). Pokud bychom s protahováním pokračovali dál a dál, začala by nakonec elipsa připomínat úsečku, jejíž krajní body jsou E a F.

Hlavní a vedlejší poloosa elipsy pak určují obsah elipsy

kde π (pí) je tzv. Ludolfovo číslo, které nabývá hodnoty π = 3,1415926... . Číslo má nekonečný neperiodický zápis, proto ho nikdy nemůžeme zapsat celé na řádek, i pokud by byl libovolně dlouhý.

V případě, že se jedná o kružnici, kdy e = 0, pak b = a = r. Obsah kružnice je potom